VII Международная Жаутыковская олимпиада по математике

VII Международная Жаутыковская олимпиада по математике.
Алматы, 2011

1. В трапеции $ABCD$ точки $M$ и $N$ – середины оснований $AD$ и $BC$ соответственно.
а) Докажите, что трапеция равнобедренная, если известно, что точка пересечения серединных перпендикуляров к боковым сторонам лежит на отрезке $MN$.
б) Остается ли утверждение пункта а) в силе, если известно лишь, что точка пересечения серединных перпендикуляров к боковым сторонам лежит на прямой $MN$?

2. Найдите все функции $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ такие, что для любых $ x,y\in\mathbb{R} $ выполнено равенство \[ f(x+f(y))=f(x-f(y))+4xf(y) \] (Здесь $R$ обозначает множество действительных  чисел.)

3. Обозначим через $N$ множество всех целых положительных чисел. Упорядоченную пару $(a;b)$ чисел $ a,b\in\mathbb{N} $ назовем интересной, если для любого $ n\in\mathbb{N} $ существует $ k\in\mathbb{N} $, такое, что число $a^k+b$ делится на $2^n$. Найдите все интересные упорядоченные пары чисел.

4. Найдите наибольшее возможное число множеств, удовлетворяющих одновременно следующим условиям:
  i) каждое множество состоит из 4 элементов;
  ii) любые два различных множества имеют ровно два общих элемента;
  iii) никакие два элемента не принадлежат одновременно всем множествам.

5. Пусть $n$ – целое число, $n>1$. Элемент a из множества$ M=\{ 1,2,3,\ldots,n^{2}-1\} $ назовем хорошим, если найдется элемент $b$ из $M$, такой, что число $ab–b$ делится на $n^2$. Далее, элемент a назовем очень хорошим, если $a^2–a$ делится на $n^2$. Пусть $g$ и $v$ – число хороших и число очень хороших элементов в $M$ соответственно.
Докажите, что $v^2+ v \leq g \leq n^2– n$.

6. Диагонали вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $K$, точки $M$ и $N$ – середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ADM$ и $BCM$ пересекаются в точках $M$ и $L$. Докажите, что точки $K, L, M$ и $N$ лежат на одной окружности (все эти точки предполагаются различными).