VI Международная Жаутыковская олимпиада по математике

VI Международная Жаутыковская олимпиада по математике 

Алматы, 2010

1. Найдите все простые числа $p, q$ такие, что $ p^{3}-q^{7}=p-q $.

2. Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $AD$ равны. На сторонах $BC$ и $CD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $MN=BM+DN$. Прямые $AM$ и $AN$ вторично пересекают описанную окружность четырехугольника $ABCD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что точка пересечения высот треугольника $APQ$ лежит на отрезке $MN$.

3. Прямоугольник, образованный линиями клетчатой бумаги, разбивается на фигурки трех видов: равнобедренные прямоугольные треугольники    с основанием в две клетки, квадраты  из одной клетки, и параллелограммы , ограниченные двумя сторонами и двумя диагоналями клеток (фигурки могут быть ориентированы произвольным образом).Докажите, что в любом разбиении количество фигурок третьего вида четно.

4. На доске написаны натуральные числа $1, 2, . . . , n$ ($n>2$ ). Каждую минуту с доски стирают два числа и вместо них записывают наименьший простой делитель их суммы. В конце на доске остается только число 97. При каком наименьшем $n$ это может произойти?
 
5. В каждой вершине правильного $n$ - угольника расположено по одной фишке. За один ход можно поменять местами любые две соседние фишки. За какое наименьшее число ходов можно добиться такого расположения фишек, в котором каждая фишка смещена на $[\frac{n}{2}]$ позиций по часовой стрелке от своего начального расположения?

6. Все стороны остроугольного треугольника $ABC$ различны. Пусть $O, I, H$ – соответственно центр описанной окружности, центр вписанной окружности и точка пересечения высот треугольника $ABC$. Докажите, что

a) $\angle OIH > 90^{\circ}$;

b) $\angle OIH > 135^{\circ}$.