V Международная Жаутыковская олимпиада по математике

V Международная Жаутыковская олимпиада по математике

Алматы, 2009 

1.  Найдите все такие пары целых чисел (х, y),  что х² – 2009y + 2y² = 0.

2. Найдите все действительные а, для которых существует функция f: R→R, удовлетворяющая неравенству \[ x+af(y)\leq y+f(f(x)) \]

     для всех $ x,y\in\mathbb{R} $ (Здесь R – множество всех действительных чисел.)

3. Для выпуклого шестиугольника ABCDEF площади $S$ докажите неравенство 

AC(BD + BF – DF) + CE(BD + DF – BF) + AE(BF + DF – BD) ≥ $2\sqrt{3}S$

4. На плоскости выбрана декартова система координат. Точки А₁, А₂, А₃, А₄ лежат на параболе  y = x², а точки  В₁, В₂, В₃, В₄  лежат на параболе y = 2009x². Точки А₁, А₂, А₃, А₄ лежат на одной окружности, и точки $A_i$  и $B_i$  имеют одинаковые абсциссы при любом i = 1, 2, 3, 4.

Докажите, что В₁, В₂, В₃, В₄ также лежат на одной окружности.

5. Дан четырехугольник ABCD, в котором $\angle B = \angle D = 90^{\circ}$. На отрезке АВ выбрана такая точка М, что AD = AM. Лучи DM и CB пересекаются в точке N. Точки H и K – основания перпендикуляров, опущенных из точек D и С на прямые AC и AN, соответственно.  Докажите что $\angle MHN= \angle MCK$.

6. В клетчатом квадрате 17×17    n клеток окрашены в черный цвет. Назовем линией любой столбец, любую строку и любую из двух диагоналей квадрата. За один шаг, если в некоторой линии есть хотя бы 6 черных клеток, можно окрасить все ее клетки в черный цвет.

    Найдите наименьшее такое  n, что при некотором расположении исходных n черных клеток можно за несколько шагов окрасить все клетки квадрата.