IV Международная Жаутыковская олимпиада по математике

IV Международная Жаутыковская олимпиада по математике
Алматы, 2008

1. Точки $K, L, M, N$ - соответственно середины сторон $AB, BC, CD, DA$ выпуклого четырехугольника $ABCD$. Прямая $KM$ пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Прямая $LN$  пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в точках $R$ и $S$ соответственно. Докажите, что если

$AP · PC = BQ · QD$, то $AR · RC = BS · SD$.

2. Назовем многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами хорошим, если его можно представить в виде суммы кубов нескольких многочленов (от переменной $x$) с целыми коэффициентами. Например, многочлены $x^3 − 1$ и $9x^3 − 3x^2 + 3x + 7 = (x − 1)^3 + (2x)^3 + 2^3$ являются хорошими.
a) Является ли многочлен$ P(x) = 3x + 3x^7$ хорошим?
b) Является ли многочлен $P(x) = 3x + 3x^7 + 3x^{2008}$ хорошим?
Обоснуйте ваши ответы.

3. Положим $ A =\{(a_{1},\dots,a_{8})|a_{i}\in\mathbb{N} $, $ 1\leq a_{i}\leq i+1 $ для всех$ i = 1,2\dots,8\} $}. Назовем подмножество $ X\subset A $ разреженным, если для любых двух различных элементов $ (a_{1},\dots,a_{8}) $, $ (b_{1},\dots,b_{8})\in X $ существуют хотя бы три индекса $i$ таких, что $ a_{i}\neq b_{i} $. Найдите наибольшее возможное количество элементов в разреженном подмножестве множества $A$.

4. Для всякого натурального $n$ обозначим через $S(n)$ сумму цифр в десятичной записи числа $n$.
Найдите все натуральные $n$ такие, что $n = 2S(n)^3 + 8$.

5. Непересекающиеся окружности $ω_1$ и $ω_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются прямой $ℓ$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно (окружности лежат по одну сторону от $ℓ$). Точка $K$ -  середина отрезка $A_1A_2$. На окружностях $ω_1$ и $ω_2$ выбраны точки $B_1$ и $B_2$ соответственно так, что прямые $KB_1$ и $KB_2$ касаются $ω_1$ и $ω_2$ соответственно (точка $B_1$ отлична от $A_1$, а точка $B_2$ отлична от $A_2$). Прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ пересекаются в точке $L$, а прямые $KL$ и $O_1O_2$ - в точке $P$. Докажите, что точки $B_1$, $B_2$, $P$ и $L$ лежат на одной окружности.

6. Докажите, что для любых положительных действительных чисел $a, b, c$ таких, что $abc = 1$, выполнено неравенство $\frac{1}{(a + b)b}+\frac{1}{(b + c)c}+\frac{1}{(c + a)a}≥\frac{3}{2}$.