III Международная Жаутыковская олимпиада по математике

III Международная Жаутыковская олимпиада по математике

Алматы, 2007

№ 1. Имеется 111 монет. Требуется разложить эти монеты по клеткам квадратной доски $n\times n$ так, чтобы количества монет в любых двух соседних по стороне клетках отличались ровно на 1 (в клетках может быть по нескольку монет или не быть их вообще). При каком максимальном $n$ это возможно?

№ 2. Внутри выпуклого четырехугольника $ABCD$ отмечена точка $M$ так, что $ \angle MBA=\angle MCD $, $ \angle MBC=\angle MDC $. Докажите, что угол $\angle ADC$ равен одному из углов $\angle BMC$ или $\angle AMB$, если известно, что $\angle BAC=\angle DAC$.

№ 3. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел $n$, для которых число $2^n+3^n$ делится на $n^2$.

№ 4. Существует ли функция $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $, где $R$ – множество действительных чисел, такая, что для любых действительных чисел $x, y$ выполняется равенство:
 $f(x+f(y))=f(x)+siny$?

№ 5. Множество всех положительных действительных чисел разбито на 3 непустых попарно непересекающихся множества.
a) Докажите, что можно выбрать 3 числа, по одному из каждого множества, которые служат длинами сторон некоторого треугольника.
b) Всегда ли можно выбрать числа (по одному из каждого множества) так, чтобы они являлись длинами сторон прямоугольного треугольника?

№ 6. Про выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ известно, что диагонали $AD$, $BE$ и $CF$ пересекаются в одной точке $M$. Кроме того, треугольники $ABM$, $BMC$, $CDM$, $DEM$, $EFM$ и $FAM$ – остроугольные, а центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности. Докажите, что четырехугольники $ABDE$, $BCEF$ и $CDFA$ имеют равные площади.