II Международная Жаутыковская олимпиада по математике

II Международная Жаутыковская олимпиада по математике 

Алматы, 2006

№ 1. Найдите все натуральные числа  $n$ такие, что $n= \varphi (n)+402$, где  $\varphi (n)$ – функция Эйлера (известно, что если  $p_1, . . . , p_k$ – все различные простые делители натурального числа $n$, то $\varphi (n)=n \cdot (1-\frac{1}{p_1}) . . . \cdot (1-\frac{1}{p_k})$; кроме того, $\varphi (1)=1$).

№ 2. На сторонах  $AB$ и $AC$ треугольника  $ABC$ взяты точки $K$  и  $L$ соответственно, так, что $BK=CL$. Пусть $P$  – точка пересечения отрезков  $BL$ и $CK$, а $M$  – точка внутри отрезка $AC$  такая, что прямая $MP$  параллельна биссектрисе угла $BAC$ . Докажите, что  $CM=AB$.

№ 3. Прямоугольную таблицу $m\times n$ ($4 \leq m \leq n$) назовем хорошей, если в каждую ее клетку можно вписать число 0 или 1 так, чтобы одновременно выполнялись условия:
1)    не все вписанные числа равны 0 и не все равны 1;
2)    число единиц во всех квадратах  $3\times 3$ одно и то же;
3)    число единиц во всех квадратах  $4\times 4$ одно и то же.
Найдите все пары натуральных чисел  $(m; n)$, ($4 \leq m \leq n$) для которых существует хорошая таблица $m\times n$.

№ 4. Имеется куча из 100 камней. Разбиение этой кучи на  $k$ новых куч назовем особым, если, во-первых, количества камней в разных кучах разные, и, во-вторых, при любом дальнейшем разбиении любой из этих куч на две новые среди новых  $k+1$ куч полученного разбиения найдутся две кучи с одинаковым числом камней (любая куча состоит, по крайней мере, из одного камня).
а) Найдите наибольшее число $k$ , при котором для данной кучи из 100 камней существует особое разбиение на $k$  куч.
б) Найдите наименьшее число $k$ , при котором существует особое разбиение данной кучи на  $k$ куч.

№ 5. Докажите, что если сумма действительных чисел  $a, b, c, d$ равна нулю, то для них выполняется неравенство

\[ (ab+ac+ad+bc+bd+cd)^{2}+12\geq 6(abc+abd+acd+bcd). \].

№ 6. Про выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ известно, что  $AD=BC+EF$, $BE= AF+CD$, $CF=DE+AB$. Докажите, что\[ \frac{AB}{DE}=\frac{CD}{AF}=\frac{EF}{BC}. \]