I Международная Жаутыковская олимпиада по математике

I Международная Жаутыковская олимпиада по математике Алматы, 2005, юниоры

№ 1. В прямоугольной таблице 99 (см. ниже) отмечены 40 клеток. Горизонтальный или вертикальный ряд из 9 клеток называется хорошим, если в нем отмеченных клеток больше, чем не отмеченных. Какое наибольшее суммарное количество хороших (горизонтальных и вертикальных) рядов может иметь данная таблица?

№ 2. Даны целые числа  такие, что . Тогда докажите, что число  является полным квадратом тогда и только тогда, когда .

№ 3. На плоскости дано множество  из  точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что для любых двух различных точек  существует прямая, разбивающая  на два подмножества по  элементов и такая, что  лежат по разные стороны от этой прямой.

 № 4. Для любых положительных действительных чисел a, b, c докажите неравенство

.

 № 5. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AB в точке D, а точка M – середина этой стороны. Докажите, что точка M, центр вписанной окружности и середина отрезка CD лежат на одной прямой.

 № 6. Найдите все простые числа , не превосходящие 2005 и такие, что  делится на , а  делится на .