2-я олимпиада

2-я олимпиада по математике, посвященная  памяти участника ВОВ

героя Советского Союза Наги Ильясова

Средняя лига. 

1. Сколько существует трехзначных чисел таких, что из их цифр можно составить равнобедренный треугольник, длины сторон которого равны числовым значениям этих цифр? (К примеру, из числа 122 можно составить равнобедренный треугольник).

2. Пусть дано нечетное простое число p. Определите все натуральные числа k такие, что число  $\sqrt{k^2-pk}$ — натуральное.

3. В треугольнике ABC проведена биссектриса BK. Точка H на стороне AB делит сторону AB в отношении 1 : 2, считая от вершины A. Пусть O – точка пересечения отрезков BK и CH. Определите значение угла AOB, если известно, AO что делит KH пополам.

4. Докажите, что для всех неотрицательных чисел x, y, z выполнено неравенство

$x\sqrt{x^2+xy+y^2}+y\sqrt{y^2+yz+z^2}+z\sqrt{z^2+zy+y^2}\geq \sqrt{3}(xy+yz+zx)$

Старшая лига.

1. Предположим, что $\frac{3}{2}\leq x \leq 5$ . Докажите, что

 $2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-3}+\sqrt{15-3x}<2\sqrt{19}$.

2. Определите наименьшее возможное значение выражения $|25^n-7^m-3^m|$  для натуральных чисел m и n.

3. В единичном квадрате отмечено 100 точек. Докажите, что существует ломаная, проходящая через все эти точки, длина которой не превосходит 22.

4. В треугольнике ABC, все углы которого меньше 120⁰, отметили точку Торричелли T (т.е. точка  из которой все стороны видны под углом 120⁰).  Докажите, что все четыре прямые Эйлера треугольников ATC, ATB, ВTС  и ABC пересекаются в одной точке. (Прямая Эйлера, это прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот треугольника)