Условия 2011

V ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП РЕСПУБЛИКАНСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ 2011  ГОДА 

9 класс

Задача № 1. Вписанная в четырехугольник ABCD окружность касается сторон AB,BC,CD,DA в точках K, L,M,N соответственно. Пусть P,Q,R, S середины сторон KL, LM,MN,NK. Докажите что PR = QS тогда и только тогда, когда ABCD вписанный.

Задача № 2. Определите наименьшее возможное число $n>1$ такое, что существует натуральные числа $a_1, a_2, . . . , a_n,$ для которых

${(a_1+a_2+...+a_n)}^2-1$ делится $a_1^2+a_2^2+...+a_n^2$

Задача № 3. На некоторых клетках прямоугольной таблицы $mхn  (m,n>1)$ стоит по одной шашке. Малыш разрезал по линиям сетки эту таблицу так, что она распалась на две одинаковые части, при этом количество шашек на каждой части оказались одинаковыми. Карлсон поменял расстановку шашек на доске (причем на каждой части клетке по прежнему стоит не более одной шашки). Докажите, что Малыш может снова разрезать доску на две одинаковые части, содержащие равное количество шашек.

Задача № 4. Выпишем в порядке возрастания число 1 и все натуральные числа, сумма цифр которых делится на 5. Получим последовательность 1, 5, 14, 19, . . .

Докажите, что n-ый член последовательности меньше чем 5n.

Задача № 5. Дан неравнобедренный треугольник ABC. $A_1, B_1, C_1$ – точки касания вписанной окружности со сторонами BC, AC, AB. Q и L– точки пересечения отрезка $AA_1$ со вписанной окружностью и отрезком $B_1C_1$ соответственно. M – середина отрезка $B_1C_1$. T – точка пересечения прямых BC и $B_1C_1.$ P – основание перпендикуляра из точки L на прямую AT. Докажите, что точки A1, M, Q, P лежат на одной окружности.

Задача № 6. Дано натуральное число n. Один из корней квадратного уравнения $x^2-ax+2n=0$ равен

$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}$

Докажите, что $2\sqrt{2n} \leq a \leq 3\sqrt{n}$

10 класс

Задача № 1. Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром I касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно. Точка $M$ делит отрезок $C_1B_1$ в отношении 3:1, считая от $C_1$. $N$ - середина стороны $AC$. Докажите, что точки $I, M, B_1, N$ лежат на одной окружности, если известно что $AC=3(BC-AB)$.

Задача № 2. Дано натуральное число n. Докажите неравенство 

$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i(i+1)(i+2)(i+3)(i+4)} < \frac{1}{96}$.

Задача № 3. На некоторых клетках прямоугольной таблицы $mхn  (m,n>1)$ стоит по одной шашке. Малыш разрезал по линиям сетки эту таблицу так, что она распалась на две одинаковые части, при этом количество шашек на каждой части оказались одинаковыми. Карлсон поменял расстановку шашек на доске (причем на каждой части клетке по прежнему стоит не более одной шашки). Докажите, что Малыш может снова разрезать доску на две одинаковые части, содержащие равное количество шашек.

Задача № 4. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, среднее арифметическое и среднее геометрическое делителей которых одновременно являются целыми числами.

Задача № 5. Дан неравнобедренный треугольник ABC. $A_1, B_1, C_1$ – точки касания вписанной окружности со сторонами BC, AC, AB. Q и L– точки пересечения отрезка $AA_1$ со вписанной окружностью и отрезком $B_1C_1$ соответственно. M – середина отрезка $B_1C_1$. T – точка пересечения прямых BC и $B_1C_1.$ P – основание перпендикуляра из точки L на прямую AT. Докажите, что точки A1, M, Q, P лежат на одной окружности.

Задача № 6. Определите все пары положительных действительных чисел $(\alpha, \beta)$ для которых существует функция  $f:R^+ ->R^+$ удовлетворяющая для всех положительных действительных чисел $ x $ уравнению

$f(f(x))=\alpha f(x)-\beta x$.

11 класс

Задача № 1. Дано действительное число $a>0$. Сколько положительных действительных решений имеет уравнение $a^x=x^a$?

Задача № 2. Пусть $w$-описанная окружность треугольника $ABC$ с тупым углом $C$ а $C'$ симметричная точка точке $C$ относительно $AB$. $M$ середина $AB$. $C'M$ пересекает $w$ в точке $N$ ($C'$ между $M$ и $N$). Пусть $BC'$ вторично пересекает $w$ в точке $F$, а $AC'$ вторично пересекает $w$ в точке $E$. $K$-середина $EF$. Докажите что прямые $AB, CN$ и $KC'$ пересекаются в одной точке.

Задача № 3. Даны нечетные натуральные числа m>1, k и простое число p такое, что p>mk+1. Докажите, что сумма

$(C_k^k)^m+(C_{k+1}^k)^m+. . . +(C_{p-1}^k)^m$ делится на $p^2$.

Здесь $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ - биномиальный коэффициент.

Задача № 4. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, среднее арифметическое и среднее геометрическое делителей которых одновременно являются целыми числами.

Задача № 5. На столе лежит карандаш, заточенный с одного конца. Ученик может поворачивать карандаш вокруг одного из его концов на 45⁰ по часовой или против часовой стрелки. Может ли ученик после нескольких поворотов вернуть карандаш на исходное место так, чтобы заточенный и незаточенный конец поменялись местами?

Задача № 6. Назовем квадратную таблицу бинарной, если в каждой ее клетке записано одно число 0 или 1. Бинарная таблица называется регулярной, если в каждой ее строке и в каждом столбце ровно по 2 единицы. Определите количество регулярных таблиц размером $nхn$ ($n>1$ - данное фиксированное натуральное число). (Можно считать, что строки и столбцы таблиц пронумерованы: случаи совпадения при повороте, отражения и т.п. считать различными).