Задачи олимпиады

 Городская олимпиада по математике

 среди физико-математических школ города Алматы, 16 ноябрь, 2008 года 

1. Три различных целых числа $a,b,c$ образуют арифметическую прогрессию. Те же числа (возможно в другом порядке) образуют геометрическую прогрессию. Докажите, что $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ делится на 21.

2. Диагонали $AC$ и $BD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$, $M$ -- середина отрезка $AE$ и $N$ -- середина отрезка $CD$. Известно, что диагональ $BD$ является биссектрисой угла $ABC$. Докажите, что около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность тогда и только тогда, когда около четырехугольника $MBCN$ можно описать окружность.

3. Докажите, что система уравнений $x^{2}+y=y^{2}+z=z^{2}+x$ имеет бесконечно много решений в действительных числах, для которых числа $x,y,z$- попарно различны

4. Куб со стороной n разбит перегородками на единичные кубики. Какое наименьшее число перегородок между единичными кубиками нужно удалить, чтобы из каждого кубика можно было добраться хотябы до одной грани куба (при этом сами грани куба остаются на месте)?

Городская олимпиада по математике среди физико-математических школ города Алматы, 24 ноябрь, 2009 год.  

1. Докажите, что для любого натурального числа n существует n различных натуральных чисел, произведение которых является полным кубом, а сумма – полным квадратом.

      2. Продолжения сторон AB и CD вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD – в точке Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов AQB и BPC со сторонами четырехугольника являются вершинами ромба.

      3. В стране есть n городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что если выехать из любого города, совершить путь (по дорогам) по другим городам и снова вернуться в исходный город, то в таком маршруте мы всегда посетим четное количество городов (включая исходный город). Определите наибольшее возможное количество дорог в этой стране.

4.  Дан треугольник {ABC}, в котором $AB\ne AC$. На его сторонах $AB$ и  $AC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $BM=CN$ Окружность, описанная около треугольника $AMN$, пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $D$, отличной от $A$. Докажите, что $DM=DN.$

5. Докажите, что для всех действительных чисел $x,y,z\ge 0$ выполнено неравенство

$\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{3}\ge xyz+\frac{3}{4}\vert (x-y)(y-z)(z-x)\vert$

6. Дана последовательность Фибоначчи: $F_{1} =F_{2} =1$, $F_{n+1} =F_{n} +F_{n-1} $ для всех натуральных чисел $n>1$. Определите все натуральные числа $n$, для которых существует натуральное число $k$ такое, что $F_{n} =2^{k}$.

Городская олимпиада по математике среди физико-математических школ города Алматы 3-4 декабрь, 2010 год.

1. Пусть $a_1, a_2, ... , a_n$ – арифметическая прогрессия целых чисел такая, что $a_i$ делится на $i$ для всех $i=1, 2, ... , n-1$ и не делится на n. Докажите, что n – степень простого числа.

2. Все 8 участников шахматного турнира набрали разное количество очков. Известно, что второй призер набрал столько же очко, сколько вместе 4 последних шахматиста. Как сыграли между собой шахматисты, занявшие 3 и 7 места? (В шахматах победа = 1 очко, ничья = 1/2 очка, поражение = 0 очков. Турнир проводится в один круг, каждый участник играет по одному разу со всеми остальными).

3. Окружность описана около четырехугольника ABCD. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, а прямые AD и BC – в точке L (С на отрезках KD и BL). Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная KL, пересекает прямые KL, CD и AD в точках P, Q и R соответственно. Докажите, что прямые QL, BP и KR пересекаются в одной точке.

4. В треугольнике ABC проведена биссектриса BK. Касательная в точке K к окружности $w$, описанной около треугольника ABK, пересекает сторону BC в точке L. Прямая AL пересекает $w$ в точке M. Докажите, что прямая BM проходит через середину отрезка KL.

5. Для действительных чисел $x, y, z \in (0;1)$ известно, что $8xyz = (1 – x)(1 – y)(1 – z)$. Докажите, что $x+y+z \geq 1$.

6. Кузнечик стоит на координатной оси в точке с координатой 0. На каждом шагу ему разрешается прыгнуть из точки с координатой x в точку с координатой x + 1, либо в точку с координатой 2x. Весом координаты назовем минимальное количество прыжков, требуемое кузнечику для ее достижения. Определите координату X < 2010 с наибольшим весом.