Условие задач 2002

I Математическая олимпиада "Шелковый путь" 2002 год.

Задача №1. В треугольнике $ABC$ точка $I$ – центр вписанной окружности. Пусть $P$ – точка пересечения биссектрисы угла $A$ с описанной окружностью $(P \neq A)$, $D$ – точка касания вписанной окружности со стороной $BC$, а $Q$ – точка пересечения прямой $PD$ с центром описанной окружности $(Q \neq P )$. Докажите, что $PI = QI$, если отрезок $PD$ равен радиусу вписанной окружности.

Задача №2. Пусть $n$ натуральное число $n > 2$ и $a_1 , a_2, . . . , a_n ∈ R^{+}$ –  положительные действительные числа. Даны произвольные натуральные числа $ t, k, p$, причем $1 < t < n$, положим также $m = k + p$. Докажите следующие неравенства:

1) $\frac{a^p_1}{a^k_2+a^k_3+\cdots +a^k_t} +\frac{a^p_2}{a^k_3+a^k_4+\cdots+a^k_{t+1}}+\cdots +\frac{a^p_n}{a^k_1+a^k_2+\cdots +a^k_{t-1}} \geq \frac{(a^p_1+a^p_2+\cdots +a^p_n)^2}{(t-1)(a^m_1+a^m_2+\cdots +a^m_n)}$

2) $\frac{a^k_2+a^k_3+\cdots +a^k_t}{a^p_1}+\frac{a^k_3+a^k_4\cdots+a^k_{t+1}}{a^p_2}+\cdots+ \frac{a^k_1+a^k_2+\cdots +a^k_{t-1}}{a^p_n} \geq \frac{(t-1)(a^k_1+a^k_2+\cdots +a^k_n)^2}{a^m_1+a^m_2+\cdots +a^m_n}$

Задача №3. В каждой единичной клетке некоторого конечного множества клеток бесконечной клетчатой доски записано целое число так, что сумма чисел в каждой строке, так же как и в каждом столбце, делится на 2002. Докажите, что каждое число a можно заменить на некоторое число $a'$ , делящееся на 2002 так, что $|a −a' | < 2002$ и суммы чисел во всех строках, и во всех столбцах не изменятся.

Задача №4. Рассмотрим дробь $1/7 = 0.{\dot 1}4285{\dot 7}$, которая является чисто периодической десятичной дробью с периодом $6 = 7 − 1$, и в одном периоде имеем $142 + 857 = 999.$ Для $n = 1, 2, . . . ,$ определите необходимое и достаточное условие, чтобы дробь $1/(2n + 1)$ обладала теми же свойствами, что и первая дробь и найдите две такие дроби, отличные от $1/7$.